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Prof. Luis Teixeira — Física | Matemática Reforço
Escolar

Matemática 1ª série

Função do 2º grau

M121ª série do Ensino Médio10 exercíciosSimulador autoral

A função do 2º grau aparece sempre que uma grandeza depende do quadrado de outra: área, lucro, altura de um objeto lançado. Mexa nos coeficientes no simulador e veja, ao vivo, como a parábola muda — depois resolva os exercícios no papel.

Antes, convém saber: Equação do 2º grau, Função do 1º grau

Resumo

O essencial do tema

Definição e gráfico

Uma função do 2º grau tem a forma $f(x)=ax^2+bx+c$, com $a\neq0$. Seu gráfico é uma parábola. O coeficiente $c$ é onde a parábola corta o eixo $y$, porque $f(0)=c$.

Concavidade

O sinal de $a$ decide para onde a parábola “abre”: $a>0$, concavidade para cima (sorriso); $a<0$, concavidade para baixo. Quanto maior $|a|$, mais “fechada” fica a parábola.

Zeros (raízes)

São os valores de $x$ em que $f(x)=0$, isto é, onde a parábola toca o eixo $x$. Calculam-se por $\Delta=b^2-4ac$ e $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$. Se $\Delta>0$, dois zeros; se $\Delta=0$, um zero (a parábola tangencia o eixo); se $\Delta<0$, nenhum zero real.

Vértice: máximo ou mínimo

O vértice $V(x_V,y_V)$ tem $x_V=-\frac{b}{2a}$ e $y_V=f(x_V)=-\frac{\Delta}{4a}$. Se $a>0$ ele é o ponto mais baixo (valor mínimo $y_V$); se $a<0$, o mais alto (valor máximo $y_V$). A reta vertical $x=x_V$ é o eixo de simetria.

Imagem

Como o vértice é o ponto extremo, a imagem é $\text{Im}(f)=[y_V,+\infty)$ quando $a>0$ e $\text{Im}(f)=(-\infty,y_V]$ quando $a<0$. A imagem se escreve com valores de $y$.

Estudo do sinal

Entre os zeros, $f$ tem o sinal contrário ao de $a$; fora deles, o mesmo sinal de $a$. Se $\Delta<0$, a função tem sempre o sinal de $a$. É assim que se resolvem inequações como $x^2-5x+6<0$.

Atenção

Erros comuns

Simulador autoral

Laboratório da parábola

Carregando o simulador…

Abrir só o simulador em outra aba · feito em HTML pelo Prof. Luis Teixeira

Experimente

  1. Mova o controle de $a$ até passar por zero e observe a concavidade virar.
  2. Deixe $a$ e $c$ fixos e mexa só em $b$: o vértice se desloca, mas a parábola continua passando por $(0,c)$.
  3. Ligue o estudo do sinal e confira a regra: entre os zeros, sinal contrário ao de $a$.
  4. Use os botões de exemplo para ver os casos $\Delta=0$ e $\Delta<0$.
Resolvidos

Exemplos resolvidos

  1. Determine os zeros e o vértice de $f(x)=x^2-6x+5$.

    Ver a resolução passo a passo
    Zeros: $\Delta=36-20=16$, então $x=\frac{6\pm4}{2}$, ou seja, $x_1=1$ e $x_2=5$. Vértice: $x_V=\frac{1+5}{2}=3$ (média dos zeros, pela simetria) e $y_V=f(3)=9-18+5=-4$. Como $a=1>0$, o valor mínimo é $-4$, em $x=3$.

  2. Com 40 m de tela, quero cercar um terreno retangular encostado num muro (o muro dispensa um dos lados). Qual a maior área possível?

    Ver a resolução passo a passo
    Chamando de $x$ os dois lados perpendiculares ao muro, o lado paralelo mede $40-2x$. A área é $A(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x$. Como $a=-2<0$, há máximo: $x_V=-\frac{40}{2\cdot(-2)}=10$ m e $A(10)=10\cdot20=200$ m². A maior área é $200$ m².
Roteiro

Como estudar este tema

  1. Leia o resumo e os erros comuns antes de abrir o simulador.
  2. No simulador, monte $f(x)=x^2-6x+5$ ($a=1$, $b=-6$, $c=5$) e confira o exemplo resolvido.
  3. Resolva os exercícios básicos no papel e só depois abra o gabarito.
  4. Se travar em máximo e mínimo, abra a ficha “Máximo e mínimo” do material do professor.
  5. Termine com os problemas aplicados: eles são o que mais cai em prova.
Exercícios

Teste o que você aprendeu

Resolva no papel antes de abrir a resposta. Conferir cedo demais atrapalha o aprendizado.

  1. Básico

    Determine os zeros de $f(x)=x^2-5x+6$.

    Ver resposta

    $x=2$ e $x=3$. $\Delta=25-24=1$, então $x=\frac{5\pm1}{2}$.

  2. Básico

    A parábola de $f(x)=-2x^2+3x+1$ tem concavidade para cima ou para baixo? Onde ela corta o eixo $y$?

    Ver resposta

    Para baixo, pois $a=-2<0$. Corta o eixo $y$ em $(0,1)$, já que $c=1$.

  3. Básico

    Calcule o vértice de $f(x)=x^2-4x+1$.

    Ver resposta

    $V(2,-3)$. $x_V=-\frac{-4}{2}=2$ e $y_V=f(2)=4-8+1=-3$.

  4. Básico

    Quantos zeros reais tem $f(x)=x^2+2x+5$?

    Ver resposta

    Nenhum. $\Delta=4-20=-16<0$: a parábola não toca o eixo $x$.

  5. Intermediário

    Qual é a imagem de $f(x)=-x^2+6x-5$?

    Ver resposta

    $\text{Im}(f)=(-\infty,4]$. $x_V=3$ e $y_V=-9+18-5=4$. Como $a<0$, $4$ é o valor máximo.

  6. Intermediário

    Resolva a inequação $x^2-5x+6<0$.

    Ver resposta

    $2<x<3$. Os zeros são 2 e 3 e $a>0$; entre os zeros a função tem sinal contrário ao de $a$, ou seja, negativo.

  7. Intermediário

    Para que valores de $k$ a função $f(x)=x^2-4x+k$ tem dois zeros reais distintos?

    Ver resposta

    $k<4$. Precisamos de $\Delta>0$: $16-4k>0\Rightarrow k<4$.

  8. Intermediário

    Escreva $f(x)=x^2-8x+12$ na forma canônica $a(x-x_V)^2+y_V$.

    Ver resposta

    $f(x)=(x-4)^2-4$. Completando o quadrado: $x^2-8x+16-16+12=(x-4)^2-4$.

  9. Aplicado

    Uma bola é lançada e sua altura, em metros, é $h(t)=-5t^2+20t$, com $t$ em segundos. Qual a altura máxima e em que instante ela ocorre?

    Ver resposta

    $20$ m, em $t=2$ s. $t_V=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2$ e $h(2)=-20+40=20$.

  10. Aplicado

    Uma loja vende $x$ camisetas por dia ao preço $p=50-x$ reais cada. Qual o número de camisetas que maximiza a receita, e qual é essa receita?

    Ver resposta

    $25$ camisetas, receita de R$ $625$. A receita é $R(x)=x(50-x)=-x^2+50x$; $x_V=25$ e $R(25)=25\cdot25=625$.

Do professor

Material das aulas particulares

Os mesmos slides e fichas usados nas aulas. Bom para revisar ou se aprofundar depois dos exercícios.

Referências

Para aprofundar

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