F111ª série do Ensino Médio10 exercíciosSimulador autoral
A mesma força que faz uma maçã cair mantém a Lua em órbita da Terra e os planetas em órbita do Sol. Kepler descreveu como os planetas se movem; Newton explicou por quê. No simulador, você deforma a órbita, vê as áreas iguais varridas em tempos iguais e compara períodos com a 3ª lei.
Antes, convém saber: Forças e leis de Newton, Dinâmica: aplicações das leis de Newton
Cada planeta descreve uma órbita elíptica, com o Sol num dos focos (e não no centro). O ponto mais próximo do Sol é o periélio ($r_p$) e o mais afastado, o afélio ($r_a$). O semieixo maior é a média das duas distâncias: $a=\frac{r_p+r_a}{2}$, também chamado de raio médio. A excentricidade $e$ mede o achatamento: $e=0$ é uma circunferência. As órbitas dos planetas são quase circulares (a da Terra tem $e\approx0{,}017$); as dos cometas são muito alongadas.
O segmento que liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Perto do Sol esse segmento é curto, então o planeta precisa percorrer um arco maior no mesmo tempo: ele é mais rápido no periélio e mais lento no afélio. Nesses dois pontos vale $v_p\,r_p=v_a\,r_a$.
Para todos os corpos que orbitam o mesmo astro central, $\frac{T^2}{a^3}$ é constante: $\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}$. No Sistema Solar, com $T$ em anos e $a$ em unidades astronômicas (1 UA é a distância média Terra–Sol), fica simplesmente $T^2=a^3$. Planetas mais afastados têm período maior e velocidade menor.
Dois corpos de massas $M$ e $m$, com centros separados por $d$, se atraem com $F=\frac{G\,M\,m}{d^2}$, sendo $G\approx6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. As forças sobre os dois corpos formam um par de ação e reação: mesmo módulo, sentidos opostos. Dobrando a distância, a força cai para $\frac14$; triplicando, para $\frac19$.
A uma distância $r$ do centro de um planeta de massa $M$, a aceleração da gravidade é $g=\frac{G\,M}{r^2}$. Na superfície, $g_0=\frac{G\,M}{R^2}$, o que dá o atalho $G\,M=g_0\,R^2$. Atenção: $r=R+h$ é a distância ao centro, e não a altitude. A uma altitude igual ao raio, $r=2R$ e $g$ fica $4$ vezes menor.
A gravidade é a resultante centrípeta: $\frac{G\,M\,m}{r^2}=\frac{m\,v^2}{r}$, então $v=\sqrt{\frac{G\,M}{r}}$ e $T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M}}$. Velocidade e período não dependem da massa do satélite. O satélite geoestacionário tem $T=1$ dia e fica a cerca de $36\,000$ km de altitude. Os astronautas flutuam porque estão em queda livre junto com a nave, e não por falta de gravidade.
Carregando o simulador…
Abrir só o simulador em outra aba · feito em HTML pelo Prof. Luis Teixeira
A distância média de Plutão ao Sol é cerca de $40$ vezes a da Terra. Estime o período de Plutão.
Um satélite orbita a uma altitude igual ao raio da Terra ($R=6{,}4\cdot10^6$ m; $g_0=10\,\text{m/s}^2$). Qual o campo gravitacional na órbita e a velocidade do satélite?
Resolva no papel antes de abrir a resposta. Conferir cedo demais atrapalha o aprendizado.
Um planeta passa a $1$ UA do Sol no periélio e a $3$ UA no afélio. Qual o semieixo maior da órbita?
Em que ponto da órbita a velocidade de um planeta é máxima? Por quê?
Se a distância entre dois corpos dobra, o que acontece com a força gravitacional entre eles?
Um asteroide tem órbita praticamente circular de raio $4$ UA em torno do Sol. Qual o seu período?
Um satélite geoestacionário orbita a $42\,000$ km do centro da Terra com período de $24$ h. Qual o período de um satélite que orbita a $10\,500$ km do centro?
Qual o valor do campo gravitacional a uma altitude igual a três raios da Terra? ($g_0=10\,\text{m/s}^2$)
Um cometa passa a $0{,}5$ UA do Sol no periélio, com velocidade de $50$ km/s. No afélio, ele está a $25$ UA. Qual a sua velocidade no afélio?
Um planeta tem o dobro da massa da Terra e o dobro do raio. Qual a gravidade na sua superfície? ($g_0=10\,\text{m/s}^2$)
Qual a velocidade de um satélite em órbita rasante (raio da órbita praticamente igual ao da Terra, $R=6{,}4\cdot10^6$ m)? Quanto tempo ele leva para dar uma volta? ($g_0=10\,\text{m/s}^2$; $\pi\approx3{,}14$)
Júpiter está a cerca de $5$ UA do Sol. Estime o seu período e diga qual seria o erro de quem respondesse $5$ anos, $25$ anos ou $125$ anos.
Os mesmos slides e fichas usados nas aulas. Bom para revisar ou se aprofundar depois dos exercícios.
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