FÍSICA · 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO · GRAVITAÇÃO

Gravitação universal

Leis de Kepler · lei de Newton · campo gravitacional · satélites · energia · velocidade de escape

Prof. Luis Teixeira
Física | Matemática

O que veremos

Do modelo geocêntrico ao heliocêntrico
As três leis de Kepler
Lei da Gravitação Universal e campo gravitacional
O canhão de Newton e os satélites
Da lei de Newton à 3ª lei de Kepler: a massa dos astros
Peso aparente e imponderabilidade
Energia e velocidade de escape
Marés
Exemplos resolvidos, desafio conceitual e prática

A ideia centralA mesma força que faz uma maçã cair mantém a Lua em órbita da Terra e os planetas em órbita do Sol. Newton uniu a física da Terra e a do céu numa única lei.

Dados da aulaG = 6,67 · 10⁻¹¹ N·m²/kg² · Terra: M = 6 · 10²⁴ kg, R = 6,4 · 10⁶ m, g₀ ≈ 10 m/s² · GM = g₀R²

Do céu de Ptolomeu ao Sol de Copérnico

História

Movimento retrógradoVisto da Terra, Marte às vezes parece andar para trás no céu, fazendo um laço. No modelo geocêntrico de Ptolomeu isso exigia os epiciclos, círculos sobre círculos.

A explicação de CopérnicoCom o Sol no centro, o laço é só um efeito de perspectiva: a Terra, mais rápida e mais interna, ultrapassa Marte.

1ª lei de Kepler: lei das órbitas

Leis de Kepler

Excentricidade e

Lei das órbitasOs planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol num dos focos.

Periélio: ponto mais próximo do Sol (r_p). Afélio: o mais distante (r_a).
Semieixo maior: a = (r_p + r_a)/2. Excentricidade: e = c/a (0 é circunferência).
Em qualquer ponto da elipse, a soma das distâncias aos dois focos vale 2a.

2ª lei de Kepler: lei das áreas

Leis de Kepler

Excentricidade e

Lei das áreasA reta que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

v_p · r_p = v_a · r_a

As seis regiões coloridas foram varridas em tempos iguais (1/12 do período cada).

3ª lei de Kepler: lei dos períodos

Leis de Kepler

Planeta novo: a

T²a³ = constante (mesmo astro central)

Lei da Gravitação Universal

Newton

Massa m₁

Massa m₂

Distância d

F = G · m₁ · m₂d²

Toda massa atrai toda massa. As forças sobre os dois corpos têm o mesmo módulo e sentidos opostos (ação e reação).
Dobrando a distância, a força cai para 1/4; triplicando, para 1/9.

Massas em unidades de 10²⁴ kg e distâncias em 10⁸ m (escala Terra–Lua).

Campo gravitacional

Campo

Distância ao centro

g = G · Mr² · na superfície: g₀ = GMR²

Atenção à distânciaNa fórmula entra a distância ao centro do planeta, r = R + h, e não a altitude h. A uma altitude igual ao raio, r = 2R e g fica 4 vezes menor.

Dentro da Terra (supondo densidade uniforme), g cresce linearmente do centro até a superfície: g = g₀ · r/R.

O canhão de Newton

Satélites

Velocidade de lançamento

A ideia de NewtonUm projétil lançado horizontalmente do alto de uma montanha cai cada vez mais longe quanto maior a velocidade. Com velocidade suficiente, a Terra "se curva" na mesma medida em que ele cai: o projétil entra em órbita. Ele continua caindo, mas nunca chega ao chão.

Lançamento horizontal a 500 km de altitude, sem resistência do ar. Tente 5, 7,6, 9 e 11 km/s.

Satélites em órbita circular

Satélites

Altitude h

Exemplos:

GMmr² = mv²r ⟹ v = √(GM/r) T = 2π√r³/GM

GeoestacionárioNo plano do equador e com período de 1 dia, o satélite acompanha a rotação da Terra e fica sempre sobre o mesmo ponto. Bom para TV e meteorologia.

A velocidade e o período não dependem da massa do satélite. Distâncias do desenho fora de escala.

Da lei de Newton à 3ª lei de Kepler

Satélites

1. A gravidade é a resultante centrípeta
GMmr² = m · v²r, com v = 2πrT

2. Substituindo v e simplificando m
GMr² = 4π²rT² ⟹ T²r³ = 4π²GM

A constante da 3ª lei depende só da massa M do astro central. Por isso a lei vale apenas para corpos que orbitam o mesmo astro.
Medindo r e T de um satélite, obtemos a massa do astro central: M = 4π²r³/(GT²). Foi assim que se "pesou" o Sol.

Peso aparente e imponderabilidade

Satélites

N − P = m · a ⟹ N = m(g + a)

O que a balança medeA balança mede a força normal N, o peso aparente. O peso verdadeiro P = mg não muda dentro do elevador.

Astronautas na Estação EspacialA 400 km de altitude, g ≈ 8,9 m/s² (89% do valor na superfície). Os astronautas flutuam porque eles e a estação estão em queda livre em torno da Terra, como o projétil do canhão de Newton. Não é ausência de gravidade.

Energia no campo gravitacional

Energia

Raio da órbita r

E_p = −GMmr E_c = GMm2r E = −GMm2r

A energia potencial é zero no infinito e negativa perto do planeta.
Para subir de órbita, é preciso fornecer energia: E fica menos negativa, mas a velocidade diminui.
E < 0: órbita fechada (elipse). E = 0: parábola. E > 0: hipérbole, o corpo escapa.

Satélite de 1 000 kg em órbita da Terra.

Velocidade de escape

Energia

E_c + E_p = 0 ⟹ v_e = √2GM/R = √2 · v_{órbita rasante}

Não depende da massa do corpo lançadoUma pedra e um foguete precisam da mesma velocidade de escape. O foguete não precisa atingi-la de uma vez: ele queima combustível durante a subida.

Marés

Aplicações

Por que existem dois bojos de águaA Lua puxa mais o lado da Terra voltado para ela, menos o centro e menos ainda o lado oposto (F ∝ 1/d²). Essa diferença de forças "estica" os oceanos ao longo da linha Terra–Lua: forma-se um bojo do lado da Lua e outro do lado oposto.

Com a rotação da Terra, cada praia passa pelos dois bojos: em geral, duas marés altas e duas baixas por dia, a cada 12 h 25 min aproximadamente.
O Sol também produz marés, com cerca de metade do efeito da Lua.
Lua nova e cheia: Sol, Terra e Lua alinhados, efeitos somados: marés de sizígia (vivas), maior amplitude.
Quartos: Sol e Lua em ângulo reto, efeitos se opõem: marés de quadratura (mortas), menor amplitude.

Exemplos resolvidos

Exercícios

Exemplos resolvidos II

Exercícios

ATIVIDADEDesafio conceitual

Exercícios

ATIVIDADEExperimente: questões de cálculo

Prática

Use g₀ = 10 m/s² e R = 6,4 · 10⁶ m quando precisar. Escreva o número por extenso (4000) ou em notação científica (4 · 10^3, 4x10^3 ou 4e3).

Síntese

Assunto	Fórmula e ideia
1ª lei de Kepler	órbitas elípticas com o Sol num foco; a = (r_p + r_a)/2
2ª lei de Kepler	áreas iguais em tempos iguais; v_pr_p = v_ar_a; mais rápido no periélio
3ª lei de Kepler	T²/a³ = constante para o mesmo astro central
Gravitação universal	F = GMm/d²; ação e reação; dobrar d divide F por 4
Campo gravitacional	g = GM/r², com r = R + h; GM = g₀R²
Órbita circular	v = √(GM/r); T = 2π√(r³/GM); não dependem da massa do satélite
Geoestacionário	equador, T = 1 dia, h ≈ 36 000 km
Energia	E_p = −GMm/r; na órbita circular E_c = GMm/2r e E = −GMm/2r
Massa do astro central	T²/r³ = 4π²/GM ⟹ M = 4π²r³/(GT²)
Peso aparente	N = m(g + a); em queda livre N = 0 (imponderabilidade), mas a gravidade continua agindo
Velocidade de escape	v_e = √(2GM/R) ≈ 11,2 km/s na Terra
Marés	diferença da atração da Lua entre os lados da Terra; dois bojos; sizígia (nova e cheia) e quadratura (quartos)