M162ª série do Ensino Médio10 exercíciosSimulador autoral
Uma matriz é uma tabela de números, e é assim que computadores guardam imagens, notas de uma turma ou os coeficientes de um sistema de equações. O determinante resume a matriz em um único número que diz se o sistema tem uma solução, infinitas ou nenhuma. No simulador, cada equação é uma reta: veja as duas se cruzarem, coincidirem ou ficarem paralelas.
Antes, convém saber: Equações do 1º grau e sistemas, Função do 1º grau
Uma matriz $m\times n$ tem $m$ linhas e $n$ colunas; o elemento $a_{ij}$ fica na linha $i$ e na coluna $j$. Ela é quadrada quando $m=n$. A identidade $I_n$ tem $1$ na diagonal principal e $0$ no resto. A transposta $A^t$ troca linhas por colunas. Muitas questões dão a lei de formação, como $a_{ij}=2i-j$, e pedem para montar a matriz.
Soma e subtração: só entre matrizes de mesma ordem, elemento a elemento. Multiplicar por um número: multiplica todos os elementos. Produto $A\cdot B$: só existe se o número de colunas de $A$ for igual ao de linhas de $B$; o elemento $c_{ij}$ é a linha $i$ de $A$ “vezes” a coluna $j$ de $B$ (multiplica termo a termo e soma). Em geral, $A\cdot B\neq B\cdot A$.
Para $2\times2$: $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$ (diagonal principal menos diagonal secundária). Para $3\times3$, use a regra de Sarrus: repita as duas primeiras colunas à direita, some os três produtos no sentido da diagonal principal e subtraia os três produtos no sentido da diagonal secundária.
O sistema $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$ tem matriz dos coeficientes de determinante $D=a_1b_2-a_2b_1$. Trocando a coluna de $x$ pelos termos independentes obtemos $D_x$; trocando a de $y$, obtemos $D_y$. Se $D\neq0$, a solução é única: $x=\frac{D_x}{D}$ e $y=\frac{D_y}{D}$.
SPD (possível e determinado): uma única solução, $D\neq0$; as retas são concorrentes. SPI (possível e indeterminado): infinitas soluções; as retas são coincidentes. SI (impossível): nenhuma solução; as retas são paralelas distintas. Quando $D=0$, o sistema é SPI ou SI, e quem decide é o escalonamento (ou comparar as equações).
Carregando o simulador…
Abrir só o simulador em outra aba · feito em HTML pelo Prof. Luis Teixeira
Calcule o determinante de $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&1\end{pmatrix}$.
Resolva por Cramer: $\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=-1\end{cases}$
Resolva no papel antes de abrir a resposta. Conferir cedo demais atrapalha o aprendizado.
Construa a matriz $A=(a_{ij})_{2\times2}$ com $a_{ij}=i+2j$.
Sendo $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}0&-1\\2&5\end{pmatrix}$, calcule $A+B$ e $2A$.
Calcule $\det\begin{pmatrix}3&-2\\4&1\end{pmatrix}$.
Escreva a transposta de $M=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$. Qual é a sua ordem?
Sendo $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}$, calcule $A\cdot B$ e $B\cdot A$. Os resultados são iguais?
Calcule $\det\begin{pmatrix}1&2&0\\3&1&2\\0&1&4\end{pmatrix}$.
Resolva por Cramer: $\begin{cases}x+y=5\\2x-y=4\end{cases}$
Classifique o sistema $\begin{cases}x+2y=3\\2x+4y=5\end{cases}$
Numa lanchonete, $2$ sanduíches e $1$ suco custam R$ $23$; $1$ sanduíche e $2$ sucos custam R$ $19$. Quanto custa cada item?
Para quais valores de $k$ o sistema $\begin{cases}x+ky=2\\2x+4y=4\end{cases}$ é SPD? E para qual valor ele é SPI ou SI?
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