M172ª série do Ensino Médio10 exercíciosSimulador autoral
Quantas senhas diferentes existem? Qual a chance de ganhar na loteria? A análise combinatória ensina a contar sem listar caso por caso, e a probabilidade usa essa contagem para medir a chance de um evento. No simulador, lance moedas e dados milhares de vezes e veja a frequência relativa se aproximar da probabilidade teórica.
Antes, convém saber: Frações, Decimais e porcentagem
Se uma decisão pode ser tomada de $m$ maneiras e, depois dela, outra pode ser tomada de $n$ maneiras, as duas juntas podem ser tomadas de $m\cdot n$ maneiras. Vale para quantas etapas houver: com $3$ camisetas, $2$ calças e $2$ tênis há $3\cdot2\cdot2=12$ combinações de roupa. A árvore de possibilidades é o desenho do PFC.
$n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$, com $0!=1$. Permutar é ordenar todos os elementos: $P_n=n!$ (os anagramas de AMOR são $4!=24$). Com elementos repetidos, divide-se pelas repetições: $P_n^{a,b}=\frac{n!}{a!\,b!}$ (os anagramas de ARARA são $\frac{5!}{3!\,2!}=10$).
Escolher $p$ de $n$ elementos. Se a ordem importa (pódio, senha, cargos), é arranjo: $A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!}$. Se a ordem não importa (comissão, grupo, aposta), é combinação: $C_{n,p}=\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}$. Teste: troque a ordem de dois escolhidos; se o resultado mudar, é arranjo.
Num espaço amostral de resultados igualmente prováveis, $P(A)=\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}$. Sempre $0\le P(A)\le1$. O evento complementar (“não $A$”) tem $P(\bar A)=1-P(A)$; ele é ótimo para perguntas do tipo “pelo menos um”.
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (desconta o que foi contado duas vezes). Se $A$ e $B$ são independentes (um não altera a chance do outro), $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Sem reposição, a segunda retirada depende da primeira: multiplique usando as quantidades que sobraram.
Repetindo um experimento muitas vezes, a frequência relativa de um evento ($\frac{\text{vezes que ocorreu}}{\text{total de repetições}}$) se aproxima da sua probabilidade. Em poucas jogadas os resultados oscilam muito; em milhares, estabilizam. Isso não significa que a moeda “compensa” os resultados anteriores: ela não tem memória.
Carregando o simulador…
Abrir só o simulador em outra aba · feito em HTML pelo Prof. Luis Teixeira
Quantos são os anagramas da palavra AMOR? Quantos deles começam por vogal?
Dois dados honestos são lançados. Qual a probabilidade de a soma ser $7$? E de sair pelo menos um $6$?
Resolva no papel antes de abrir a resposta. Conferir cedo demais atrapalha o aprendizado.
Uma lanchonete oferece $3$ tipos de pão, $4$ recheios e $2$ molhos. Quantos sanduíches diferentes podem ser montados com um item de cada tipo?
Quantos números de $3$ algarismos distintos podem ser formados com os algarismos $1$, $2$, $3$, $4$ e $5$?
Calcule $\frac{7!}{5!}$.
Ao lançar um dado honesto, qual a probabilidade de sair um número par?
De um grupo de $8$ pessoas, quantas comissões de $3$ pessoas podem ser formadas?
Do mesmo grupo de $8$ pessoas, de quantas maneiras podem ser escolhidos um presidente, um vice e um tesoureiro?
Quantos são os anagramas da palavra BANANA?
Uma urna tem $4$ bolas vermelhas e $6$ azuis. Retiram-se $2$ bolas, sem reposição. Qual a probabilidade de as duas serem vermelhas?
Na Mega-Sena, uma aposta simples escolhe $6$ números entre $1$ e $60$. Quantas apostas simples diferentes existem? Qual a probabilidade de acertar a sena com uma única aposta?
Uma senha tem $4$ dígitos de $0$ a $9$, com repetição permitida. Quantas senhas existem? Se uma senha for sorteada ao acaso, qual a probabilidade de ela ter os $4$ dígitos diferentes?
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