M152ª série do Ensino Médio10 exercíciosSimulador autoral
A trigonometria nasceu para medir o que não dá para medir com a trena: a altura de um prédio, a largura de um rio, a distância entre dois barcos. Começa no triângulo retângulo e termina no ciclo trigonométrico, onde seno e cosseno passam a valer para qualquer ângulo. No simulador, arraste o ponto pelo ciclo e veja os sinais mudarem de quadrante em quadrante.
Antes, convém saber: Pitágoras e relações métricas, Razão e proporção, Circunferência
Fixado um ângulo agudo $\alpha$ do triângulo retângulo: $\operatorname{sen}\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$, $\cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$ e $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}$. Os valores dependem só do ângulo, não do tamanho do triângulo (os triângulos são semelhantes).
Vale a pena saber de cor: $\operatorname{sen}30^\circ=\frac12$, $\operatorname{sen}45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\operatorname{sen}60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$. O cosseno é a mesma lista ao contrário: $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos60^\circ=\frac12$. As tangentes são $\frac{\sqrt3}{3}$, $1$ e $\sqrt3$. Dica: o seno de um ângulo é o cosseno do seu complementar ($\operatorname{sen}30^\circ=\cos60^\circ$).
Um radiano é o ângulo central que enxerga um arco de comprimento igual ao raio. A volta inteira tem $2\pi$ rad, então $180^\circ=\pi$ rad; para converter, use regra de três ($60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$). O ciclo trigonométrico é a circunferência de raio $1$ centrada na origem, com os arcos medidos a partir de $(1,0)$ no sentido anti-horário.
No ciclo, o ponto associado ao arco $x$ tem coordenadas $(\cos x,\operatorname{sen}x)$: o cosseno é a abscissa e o seno é a ordenada. Por isso $-1\le\operatorname{sen}x\le1$, $-1\le\cos x\le1$ e vale a relação fundamental $\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$ (Pitágoras no ciclo). Sinais: 1º quadrante, tudo positivo; 2º, só o seno positivo; 3º, só a tangente positiva; 4º, só o cosseno positivo.
Arcos simétricos têm o mesmo valor em módulo; só muda o sinal. Por exemplo, $120^\circ$ é simétrico de $60^\circ$: $\operatorname{sen}120^\circ=\operatorname{sen}60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ e $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$. Em geral: $\operatorname{sen}(180^\circ-x)=\operatorname{sen}x$, $\cos(180^\circ-x)=-\cos x$, e $\operatorname{sen}(360^\circ-x)=-\operatorname{sen}x$, $\cos(360^\circ-x)=\cos x$.
Para qualquer triângulo de lados $a$, $b$, $c$ opostos aos ângulos $A$, $B$, $C$: lei dos senos, $\frac{a}{\operatorname{sen}A}=\frac{b}{\operatorname{sen}B}=\frac{c}{\operatorname{sen}C}=2R$ ($R$ é o raio da circunferência circunscrita); lei dos cossenos, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Use a dos senos quando conhecer pares lado–ângulo oposto; a dos cossenos quando conhecer dois lados e o ângulo entre eles (ou os três lados).
Carregando o simulador…
Abrir só o simulador em outra aba · feito em HTML pelo Prof. Luis Teixeira
Uma escada de $6$ m está apoiada em uma parede e forma $60^\circ$ com o chão. A que altura ela toca a parede? A que distância da parede está o pé da escada?
Em um triângulo, dois lados medem $5$ cm e $8$ cm e o ângulo entre eles é $60^\circ$. Quanto mede o terceiro lado?
Resolva no papel antes de abrir a resposta. Conferir cedo demais atrapalha o aprendizado.
Um triângulo retângulo tem catetos $3$ e $4$ e hipotenusa $5$. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo oposto ao cateto de medida $3$.
Converta $150^\circ$ para radianos e $\frac{3\pi}{4}$ rad para graus.
Uma rampa reta tem $10$ m de comprimento e forma $30^\circ$ com o solo. Que altura ela vence?
Em que quadrante está o arco de $230^\circ$? Quais são os sinais do seno e do cosseno desse arco?
Calcule $\operatorname{sen}120^\circ$, $\cos120^\circ$ e $\operatorname{tg}120^\circ$.
Sabendo que $\operatorname{sen}x=\frac35$ e que $x$ está no 2º quadrante, calcule $\cos x$ e $\operatorname{tg}x$.
Calcule $\cos300^\circ$ e $\operatorname{sen}\frac{5\pi}{3}$.
Em um triângulo $ABC$, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$ e o lado oposto a $A$ mede $a=4$. Calcule o lado $b$, oposto a $B$.
Uma pessoa está a $30$ m da base de um prédio e vê o topo sob um ângulo de $60^\circ$ com a horizontal. Desprezando a altura dos olhos, qual a altura do prédio? (Use $\sqrt3\approx1{,}73$.)
Dois barcos saem do mesmo porto em direções que formam $120^\circ$. Depois de um tempo, um percorreu $3$ km e o outro, $5$ km. Qual a distância entre eles?
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