Geometria analítica — Reforço de Matemática

Resumo

O essencial do tema

Distância entre dois pontos

Para $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$, o segmento $AB$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $\Delta x=x_B-x_A$ e $\Delta y=y_B-y_A$. Por Pitágoras: $d_{AB}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$.

Ponto médio

O ponto médio de $AB$ tem coordenadas que são as médias das coordenadas: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Coeficiente angular

A inclinação da reta que passa por $A$ e $B$ é $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\operatorname{tg}\theta$, em que $\theta$ é o ângulo da reta com o eixo $x$. Se $m>0$ a reta sobe; se $m<0$, desce; se $m=0$, é horizontal. Reta vertical ($\Delta x=0$) não tem coeficiente angular.

Equação da reta

Conhecidos um ponto $(x_0,y_0)$ e $m$: $y-y_0=m(x-x_0)$. Desenvolvendo, chega-se à forma reduzida $y=mx+n$ ($n$ é onde a reta corta o eixo $y$) ou à forma geral $ax+by+c=0$. Três pontos são colineares quando os coeficientes angulares entre eles são iguais.

Paralelas e perpendiculares

Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular: $m_1=m_2$. Retas perpendiculares têm coeficientes angulares cujo produto é $-1$: $m_2=-\frac{1}{m_1}$ (o oposto do inverso).

Circunferência

Os pontos à distância $r$ do centro $C(a,b)$ formam a circunferência $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ (equação reduzida). Desenvolvendo, obtém-se a equação geral $x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0$. Para voltar da geral para a reduzida, complete os quadrados.

Atenção

Erros comuns

Montar o coeficiente angular misturando a ordem dos pontos, como $\frac{y_B-y_A}{x_A-x_B}$. Quem vem primeiro em cima vem primeiro embaixo.
Para a perpendicular, usar só o oposto ($-m$) ou só o inverso ($\frac1m$). É os dois juntos: $-\frac1m$.
Errar o sinal do centro: em $(x+2)^2+(y-1)^2=9$ o centro é $(-2,1)$ e o raio é $3$, não $9$.

Simulador autoral

Plano em movimento

Carregando o simulador…

Abrir só o simulador em outra aba · feito em HTML pelo Prof. Luis Teixeira

Experimente

Arraste os pontos $A$ e $B$ e observe o triângulo retângulo de catetos $\Delta x$ e $\Delta y$: a distância é a hipotenusa.
Coloque $A$ e $B$ na mesma altura e veja o coeficiente angular zerar; coloque-os na mesma vertical e veja ele deixar de existir.
Ligue a mediatriz: ela passa pelo ponto médio e é perpendicular a $AB$. Confira que o produto dos coeficientes angulares dá $-1$.
No modo circunferência, arraste o centro e o ponto da borda e compare a equação reduzida com a geral.

Resolvidos

Exemplos resolvidos

Dados $A(1,2)$ e $B(4,6)$, calcule a distância $AB$, o ponto médio e a equação da reta $AB$.

Ver a resolução passo a passo
$\Delta x=3$ e $\Delta y=4$, então $d=\sqrt{9+16}=5$. Ponto médio: $M\left(\frac{1+4}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(2{,}5;\,4)$. Coeficiente angular: $m=\frac43$. Reta: $y-2=\frac43(x-1)$; multiplicando por $3$, $3y-6=4x-4$, ou seja, $4x-3y+2=0$. Conferindo com $B$: $16-18+2=0$.
Encontre o centro e o raio da circunferência $x^2+y^2-4x+6y-12=0$.

Ver a resolução passo a passo
Completando quadrados: $x^2-4x=(x-2)^2-4$ e $y^2+6y=(y+3)^2-9$. Então $(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-12=0$, isto é, $(x-2)^2+(y+3)^2=25$. Centro $(2,-3)$ e raio $5$.

Roteiro

Como estudar este tema

Revise o teorema de Pitágoras e a função do 1º grau ($y=ax+b$): aqui eles reaparecem com outro nome.
Faça o primeiro exemplo no papel e depois reproduza-o no simulador, colocando $A$ em $(1,2)$ e $B$ em $(4,6)$.
Resolva os exercícios básicos sobre distância, ponto médio e coeficiente angular.
Nos intermediários, escreva sempre a equação na forma $y-y_0=m(x-x_0)$ antes de simplificar.
Termine com os aplicados e com o modo circunferência do simulador.

Exercícios

Teste o que você aprendeu

Resolva no papel antes de abrir a resposta. Conferir cedo demais atrapalha o aprendizado.

Básico
Calcule a distância entre os pontos $(-1,3)$ e $(5,-5)$.

Ver resposta
$10$. $\Delta x=6$ e $\Delta y=-8$: $d=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
Básico
Determine o ponto médio do segmento de extremos $(2,-4)$ e $(8,6)$.

Ver resposta
$M(5,1)$. $\frac{2+8}{2}=5$ e $\frac{-4+6}{2}=1$.
Básico
Qual o coeficiente angular da reta que passa por $(1,1)$ e $(3,7)$?

Ver resposta
$m=3$. $m=\frac{7-1}{3-1}=\frac62=3$.
Básico
Dê o centro e o raio da circunferência $(x-1)^2+(y+4)^2=9$.

Ver resposta
Centro $(1,-4)$ e raio $3$. Atenção: $(y+4)$ corresponde a $b=-4$, e $r^2=9$ dá $r=3$.
Intermediário
Escreva a equação reduzida da reta que passa por $(2,3)$ e tem coeficiente angular $-2$.

Ver resposta
$y=-2x+7$. $y-3=-2(x-2)\Rightarrow y=-2x+4+3$.
Intermediário
Determine a equação da reta perpendicular a $y=2x+1$ que passa pelo ponto $(4,1)$.

Ver resposta
$y=-\frac{x}{2}+3$. A perpendicular tem $m=-\frac12$: $y-1=-\frac12(x-4)\Rightarrow y=-\frac12x+2+1$.
Intermediário
Os pontos $(1,2)$, $(3,6)$ e $(4,9)$ estão alinhados?

Ver resposta
Não. Entre os dois primeiros, $m=\frac{6-2}{3-1}=2$; entre o primeiro e o terceiro, $m=\frac{9-2}{4-1}=\frac73\neq2$.
Intermediário
Escreva a equação da circunferência de centro $(-2,1)$ que passa pelo ponto $(1,5)$.

Ver resposta
$(x+2)^2+(y-1)^2=25$. O raio é a distância do centro ao ponto: $r=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
Aplicado
Num mapa quadriculado em que cada unidade vale $1$ km, uma escola está em $(1,2)$ e um hospital em $(7,10)$. Qual a distância em linha reta entre eles? Onde deve ficar um ponto de apoio exatamente no meio do caminho?

Ver resposta
$10$ km; ponto de apoio em $(4,6)$. $d=\sqrt{6^2+8^2}=10$ e $M=\left(\frac{1+7}{2},\frac{2+10}{2}\right)$.
Aplicado
Uma antena instalada no ponto $(3,4)$ cobre um raio de $5$ km. Escreva a equação da circunferência que limita a área de cobertura e diga se uma casa no ponto $(7,8)$ recebe o sinal.

Ver resposta
$(x-3)^2+(y-4)^2=25$; a casa não recebe o sinal. Para $(7,8)$: $(7-3)^2+(8-4)^2=32>25$, ou seja, a distância é $\sqrt{32}\approx5{,}66$ km, maior que o raio.

Referências

Para aprofundar

IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar, v. 7: geometria analítica. São Paulo: Atual.
LIMA, E. L. Coordenadas no Plano. Rio de Janeiro: SBM.

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