M182ª série do Ensino Médio10 exercíciosSimulador autoral
Caixa-d'água, lata de refrigerante, casquinha de sorvete, bola: a geometria espacial é a matemática das embalagens e das obras, e é presença garantida no ENEM. Quase tudo sai de duas ideias: volume é área da base vezes altura (com um terço para os sólidos “pontudos”) e área é a soma das faces planificadas. No simulador, gire o sólido, mude as medidas e veja as fórmulas trabalhando.
Antes, convém saber: Pitágoras e relações métricas, Circunferência, Potências e raízes
O volume de qualquer prisma é $V=A_b\cdot h$ (área da base vezes altura). A área total é $A_t=2A_b+A_\ell$, em que a área lateral $A_\ell$ é a soma dos retângulos laterais. No paralelepípedo de arestas $a$, $b$, $c$: $V=abc$, $A_t=2(ab+ac+bc)$ e diagonal $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. No cubo de aresta $a$: $V=a^3$ e $d=a\sqrt3$.
É o “prisma de base circular”: $V=\pi r^2h$. Planificada, a lateral é um retângulo de base $2\pi r$ (o contorno do círculo) e altura $h$, então $A_\ell=2\pi rh$ e $A_t=2\pi r^2+2\pi rh$.
Têm um terço do volume do prisma ou do cilindro de mesma base e mesma altura: $V=\frac{A_b\cdot h}{3}$; no cone, $V=\frac{\pi r^2h}{3}$. No cone, a geratriz $g$ (do vértice até a borda da base) satisfaz $g^2=h^2+r^2$ e a área lateral é $A_\ell=\pi rg$. Na pirâmide regular, a área lateral é a soma dos triângulos das faces, cuja altura é o apótema da pirâmide.
Com raio $r$: volume $V=\frac43\pi r^3$ e área da superfície $A=4\pi r^2$. Uma curiosidade: a área da esfera é igual à área lateral do cilindro que a envolve exatamente ($2\pi r\cdot2r$).
Se dois sólidos têm a mesma altura e, cortados por qualquer plano paralelo à base, produzem seções de mesma área, então eles têm o mesmo volume. É por isso que um prisma inclinado tem o mesmo volume de um prisma reto de mesma base e altura, e que prisma e cilindro compartilham a fórmula $V=A_b\cdot h$.
$1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{cm}^3$ e $1\ \text{m}^3=1\,000\ \text{L}$. Se todas as medidas de um sólido forem multiplicadas por $k$, as áreas ficam multiplicadas por $k^2$ e o volume por $k^3$: dobrando a aresta de um cubo, o volume fica $8$ vezes maior.
Carregando o simulador…
Abrir só o simulador em outra aba · feito em HTML pelo Prof. Luis Teixeira
Uma caixa-d'água cilíndrica tem raio interno de $1$ m e altura de $1{,}5$ m. Quantos litros ela comporta? (Use $\pi\approx3{,}14$.)
Um cone tem raio da base $3$ cm e altura $4$ cm. Calcule a geratriz, o volume e a área total.
Resolva no papel antes de abrir a resposta. Conferir cedo demais atrapalha o aprendizado.
Calcule o volume e a área total de um paralelepípedo de dimensões $2$ cm, $3$ cm e $4$ cm.
Um cubo tem aresta de $5$ cm. Calcule o volume e a medida da diagonal.
Calcule o volume de um cilindro de raio $2$ cm e altura $5$ cm.
Uma pirâmide tem base quadrada de lado $6$ m e altura $4$ m. Qual o seu volume?
Calcule o volume e a área da superfície de uma esfera de raio $3$ cm.
Calcule a área lateral e a área total de um cilindro de raio $3$ cm e altura $10$ cm.
Uma lata cilíndrica tem $8$ cm de diâmetro e $10$ cm de altura. Qual a sua capacidade, em litros? (Use $\pi=3$.)
Um copo cilíndrico e um copo cônico têm a mesma base e a mesma altura. Quantos copos cônicos cheios são necessários para encher o cilíndrico?
(ENEM 2024) Uma empresa vende um produto em embalagens cilíndricas de raio $3$ cm e altura $15$ cm e planeja usar embalagens cúbicas com capacidade igual a $80\%$ da atual. Usando $\pi=3$, qual deve ser a medida da aresta do cubo, em centímetro?
(ENEM 2022) Uma peça metálica maciça e cilíndrica tem raio da base $4$ cm e altura $50$ cm. Ela será derretida, sem perdas, para fabricar esferas maciças de $1$ cm de diâmetro. Quantas esferas podem ser obtidas?
Fica salvo só neste navegador.
