M131ª série do Ensino Médio10 exercíciosSimulador autoral
Na função do 1º grau soma-se sempre o mesmo valor; na exponencial, multiplica-se sempre pelo mesmo fator: bactérias que dobram a cada hora, dinheiro a juros compostos, remédio que some do sangue. O logaritmo é a operação inversa e responde à pergunta “a que expoente?”. No simulador, as duas curvas aparecem como reflexo uma da outra no espelho $y=x$.
Antes, convém saber: Potências e raízes, Funções: conceito e gráficos
Para $a>0$: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$, $a^0=1$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ e $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$. Elas são a ferramenta para resolver equações exponenciais: escreva os dois lados na mesma base e iguale os expoentes. Exemplo: $4^x=32\Rightarrow 2^{2x}=2^5\Rightarrow x=\frac52$.
É $f(x)=a^x$, com $a>0$ e $a\neq1$. Domínio $\mathbb{R}$, imagem $(0,+\infty)$: o gráfico nunca toca o eixo $x$ e sempre passa por $(0,1)$, porque $a^0=1$. Se $a>1$, ela é crescente; se $0<a<1$, é decrescente.
Quando uma grandeza é multiplicada pelo mesmo fator $k$ a cada período, $Q(t)=Q_0\cdot k^t$. Aumentar $10\%$ é multiplicar por $1{,}1$; perder $10\%$ é multiplicar por $0{,}9$. Daí vêm os juros compostos, $M=C(1+i)^t$, e a meia-vida: a cada período $T$ sobra metade, $m(t)=m_0\cdot\left(\frac12\right)^{t/T}$.
Para $a>0$, $a\neq1$ e $b>0$: $\log_a b=x\iff a^x=b$. O logaritmo é o expoente que se deve dar à base $a$ para obter $b$: $\log_2 8=3$ porque $2^3=8$. Consequências diretas: $\log_a 1=0$, $\log_a a=1$ e $a^{\log_a b}=b$. Sem base escrita, a base é $10$: $\log1000=3$.
$\log_a(b\cdot c)=\log_a b+\log_a c$, $\log_a\frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c$ e $\log_a b^n=n\cdot\log_a b$. Para trocar de base: $\log_a b=\frac{\log b}{\log a}$. É assim que se resolve $2^x=5$: $x=\log_2 5=\frac{\log5}{\log2}$. As escalas Richter, pH e decibel são logarítmicas: multiplicar a grandeza por $10$ soma um valor fixo à escala.
$g(x)=\log_a x$ tem domínio $(0,+\infty)$, imagem $\mathbb{R}$ e passa por $(1,0)$. Ela desfaz a exponencial: se $(p,q)$ está no gráfico de $a^x$, então $(q,p)$ está no gráfico de $\log_a x$. Por isso os dois gráficos são simétricos em relação à reta $y=x$, e as duas funções crescem (se $a>1$) ou decrescem (se $0<a<1$) juntas.
Carregando o simulador…
Abrir só o simulador em outra aba · feito em HTML pelo Prof. Luis Teixeira
Uma aplicação de R$ $1000$ rende juros compostos de $10\%$ ao ano. Qual é o montante após $3$ anos? Em quantos anos o capital dobra? Use $\log2\approx0{,}301$ e $\log1{,}1\approx0{,}041$.
Sabendo que $\log2\approx0{,}301$ e $\log3\approx0{,}477$, calcule $\log12$ e $\log1{,}5$.
Resolva no papel antes de abrir a resposta. Conferir cedo demais atrapalha o aprendizado.
Calcule $\log_2 64$.
Simplifique $\frac{2^5\cdot2^3}{2^6}$.
Resolva a equação $3^x=81$.
A função $f(x)=\left(\frac13\right)^x$ é crescente ou decrescente? Calcule $f(-2)$.
Resolva a equação $2^{x+1}=\frac18$.
Sabendo que $\log2\approx0{,}301$ e $\log3\approx0{,}477$, calcule $\log18$.
Determine o domínio de $f(x)=\log_3(x-5)$.
Uma cultura começa com $500$ bactérias, e a população dobra a cada hora. Escreva a lei $N(t)$ e calcule a população após $6$ horas.
Um material radioativo tem meia-vida de $8$ dias. Partindo de $400$ g, quanto resta após $24$ dias?
Um capital é aplicado a juros compostos de $5\%$ ao mês. Em quantos meses ele passa a valer o dobro? Use $\log2\approx0{,}301$ e $\log1{,}05\approx0{,}021$.
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