Sequências
Uma sequência é uma lista ordenada $(a_1,a_2,a_3,\dots)$, em que $a_n$ é o termo que ocupa a posição $n$. O índice diz a posição; o termo é o valor. Em $(5,8,11,\dots)$, $a_1=5$ e $a_3=11$.
Resumo
O essencial do tema
Progressão aritmética (PA)
Cada termo é o anterior mais uma constante, a razão $r=a_2-a_1$. Se $r>0$, a PA é crescente; se $r<0$, decrescente; se $r=0$, constante. Termo geral: $a_n=a_1+(n-1)\,r$. Do $1^\circ$ ao $n$-ésimo termo há $n-1$ “saltos” de tamanho $r$. Os pontos $(n,a_n)$ ficam sobre uma reta: a PA é uma função do 1º grau com $n$ natural.
Soma dos termos da PA
Numa PA finita, termos equidistantes dos extremos têm a mesma soma: $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\dots$. Por isso $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$. Foi assim que Gauss, ainda criança, somou $1+2+\dots+100$: são $50$ pares que somam $101$, total $5050$.
Progressão geométrica (PG)
Cada termo é o anterior vezes uma constante, a razão $q=\frac{a_2}{a_1}$. Termo geral: $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. Com $a_1>0$: se $q>1$, a PG cresce; se $0<q<1$, decresce; se $q<0$, os sinais se alternam. A PG é a exponencial com $n$ natural.
Soma dos termos da PG finita
Para $q\neq1$: $S_n=\frac{a_1\,(q^n-1)}{q-1}$. (Se $q=1$, todos os termos são iguais e $S_n=n\cdot a_1$.) Exemplo: $1+2+4+\dots+2^9=\frac{1\cdot(2^{10}-1)}{2-1}=1023$.
Soma da PG infinita
Se $-1<q<1$, os termos ficam cada vez mais perto de zero e a soma se aproxima de um valor fixo: $S_\infty=\frac{a_1}{1-q}$. Exemplo: $1+\frac12+\frac14+\dots=\frac{1}{1-\frac12}=2$. Isso também transforma dízimas em frações: $0{,}333\ldots=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\dots=\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac13$. Se $|q|\ge1$, a soma não se aproxima de nenhum número.
Atenção
Erros comuns
- Contar $n$ saltos em vez de $n-1$. Do $1^\circ$ ao $10^\circ$ termo há $9$ razões; do mês 1 ao mês 5 são $4$ aumentos, não $5$.
- Calcular a razão de uma PG subtraindo. Em $(3,6,12,\dots)$ a razão é $q=\frac63=2$, e não $3$.
- Usar $S_\infty=\frac{a_1}{1-q}$ quando $|q|\ge1$. Em $1+2+4+\dots$ a fórmula daria $-1$, um absurdo: essa soma cresce sem parar.
Simulador autoral
Escada de termos
Carregando o simulador…
Abrir só o simulador em outra aba · feito em HTML pelo Prof. Luis Teixeira
Experimente
- No modo PA, mova a razão $r$: as barras sobem (ou descem) sempre o mesmo tanto, e os topos ficam alinhados numa reta.
- Troque para PG com $q=2$ e veja o crescimento disparar; depois use $q$ negativo e observe os sinais se alternando.
- Ligue a soma acumulada: numa PG com $q=0{,}5$, os pontos de $S_n$ se aproximam da linha $S_\infty=\frac{a_1}{1-q}$ sem ultrapassá-la.
- Toque ou arraste sobre as barras para escolher um termo e conferir $a_n$ e $S_n$ na leitura.
Resolvidos
Exemplos resolvidos
Numa PA, $a_1=5$ e $r=3$. Calcule $a_{20}$ e a soma dos $20$ primeiros termos.
Ver a resolução passo a passo
Termo geral: $a_{20}=a_1+19r=5+19\cdot3=62$ (são $19$ saltos, não $20$). Soma: $S_{20}=\frac{(a_1+a_{20})\cdot20}{2}=\frac{(5+62)\cdot20}{2}=67\cdot10=670$.Calcule a soma dos $5$ primeiros termos de $8+4+2+1+\frac12+\dots$ e a soma de todos os seus infinitos termos.
Ver a resolução passo a passo
É uma PG com $a_1=8$ e $q=\frac48=\frac12$. Cinco termos: $S_5=\frac{8\left(\left(\frac12\right)^5-1\right)}{\frac12-1}=\frac{8\cdot\left(-\frac{31}{32}\right)}{-\frac12}=15{,}5$ (confira: $8+4+2+1+0{,}5=15{,}5$). Infinitos termos: como $|q|<1$, $S_\infty=\frac{8}{1-\frac12}=16$. As somas parciais chegam cada vez mais perto de $16$, sem nunca passar.
Roteiro
Como estudar este tema
- Leia a teoria da PA e resolva o primeiro exemplo sem olhar a solução.
- No simulador, monte a PA do exemplo ($a_1=5$, $r=3$) e confira $a_{20}$ e $S_{20}$.
- Leia a parte de PG; no simulador, compare $q=2$, $q=0{,}5$ e $q=-0{,}5$.
- Resolva os exercícios básicos e intermediários no papel.
- Feche com os aplicados; no da bola quicando, desenhe as subidas e descidas antes de somar.
Exercícios
Teste o que você aprendeu
Resolva no papel antes de abrir a resposta. Conferir cedo demais atrapalha o aprendizado.
- Básico
Determine o $15^\circ$ termo da PA $(2,5,8,\dots)$.
- Básico
Qual é a razão da PG $(3,12,48,\dots)$? Calcule o seu $5^\circ$ termo.
- Básico
Calcule a soma dos $50$ primeiros números ímpares, $1+3+5+\dots+99$.
- Básico
Classifique as sequências $(10,7,4,1,\dots)$ e $(2,-6,18,\dots)$ e dê a razão de cada uma.
- Intermediário
Quantos termos tem a PA $(7,11,15,\dots,207)$?
- Intermediário
Numa PA, $a_3=10$ e $a_8=25$. Determine $a_1$ e $r$.
- Intermediário
Calcule a soma dos $6$ primeiros termos da PG $(2,6,18,\dots)$.
- Intermediário
Escreva a dízima $0{,}777\ldots$ como fração, usando a soma da PG infinita.
- Aplicado
Um atleta corre $2$ km no primeiro dia de treino e aumenta $500$ m por dia. Quanto ele corre no $10^\circ$ dia? Quantos quilômetros acumula nos $10$ dias?
- Aplicado
Uma bola é solta de $9$ m de altura e, a cada quique, sobe $\frac23$ da altura anterior. Supondo que ela quique indefinidamente, qual é a distância vertical total percorrida?
Referências
Para aprofundar
- IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar, v. 4: sequências, matrizes, determinantes e sistemas. São Paulo: Atual.
- LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio, v. 2. Rio de Janeiro: SBM.
- DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações, v. 1. São Paulo: Ática.
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