Triângulo retângulo
Tem um ângulo reto ($90^\circ$). O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa ($a$), o maior lado; os outros dois são os catetos ($b$ e $c$). Antes de qualquer conta, identifique a hipotenusa.
Resumo
O essencial do tema
Teorema de Pitágoras
$a^2=b^2+c^2$: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Geometricamente, o quadrado construído sobre a hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos. Para achar um cateto, subtraia: $b^2=a^2-c^2$.
Recíproca e ternos pitagóricos
Se $a^2=b^2+c^2$ para o maior lado $a$, o triângulo é retângulo. Ternos comuns: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$ e seus múltiplos, como $(6,8,10)$. Se $a^2>b^2+c^2$, o triângulo é obtusângulo; se $a^2<b^2+c^2$, acutângulo.
Aplicações diretas
Diagonal do quadrado de lado $\ell$: $d=\ell\sqrt{2}$. Altura do triângulo equilátero de lado $\ell$: $h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}$. Distância entre dois pontos, escadas, rampas e cabos de sustentação: desenhe o triângulo retângulo e marque a hipotenusa.
Semelhança
Dois triângulos com dois ângulos iguais (caso AA) são semelhantes: têm a mesma forma, e os lados correspondentes são proporcionais. A altura $h$ relativa à hipotenusa divide o triângulo retângulo em dois triângulos menores, ambos semelhantes ao original.
Relações métricas
A altura divide a hipotenusa em duas projeções: $m$ (projeção do cateto $b$) e $n$ (projeção de $c$), com $m+n=a$. Da semelhança saem: $b^2=a\cdot m$, $c^2=a\cdot n$, $h^2=m\cdot n$ e $b\cdot c=a\cdot h$. Somando as duas primeiras, $b^2+c^2=a(m+n)=a^2$: é outra demonstração de Pitágoras.
Atenção
Erros comuns
- Não identificar a hipotenusa: escada de 10 m com o pé a 6 m da parede dá altura $h$ com $h^2+6^2=10^2$, ou seja, $h=8$ m, e não $\sqrt{136}$ nem $10-6=4$.
- Achar que $\sqrt{b^2+c^2}=b+c$. Com catetos 3 e 4, a hipotenusa é 5, não 7.
- Trocar as projeções: o cateto $b$ se relaciona com a projeção dele, a que fica junto dele na hipotenusa ($b^2=a\cdot m$).
Simulador autoral
Quadrados de Pitágoras
Carregando o simulador…
Abrir só o simulador em outra aba · feito em HTML pelo Prof. Luis Teixeira
Experimente
- Arraste os dois vértices dos catetos (ou use os controles) até $b=3$ e $c=4$ e confira as áreas $9+16=25$.
- Ligue a grade de unidades e conte os quadradinhos dos quadrados menores.
- Ligue a altura relativa à hipotenusa: o triângulo é ampliado, aparecem as projeções $m$ e $n$, e a leitura confere $h^2=m\cdot n$.
- Teste os ternos $(5,12,13)$ e $(6,8,10)$ e veja a hipotenusa dar um número inteiro.
Resolvidos
Exemplos resolvidos
Uma escada de $10$ m está apoiada em uma parede, com o pé a $6$ m da parede. A que altura a escada toca a parede?
Ver a resolução passo a passo
A escada é a hipotenusa (oposta ao ângulo reto entre chão e parede). $h^2+6^2=10^2\Rightarrow h^2=100-36=64\Rightarrow h=8$ m.A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo a divide em projeções $m=9$ e $n=16$. Calcule a hipotenusa, a altura e os catetos.
Ver a resolução passo a passo
$a=m+n=25$. $h^2=m\cdot n=144\Rightarrow h=12$. $b^2=a\cdot m=225\Rightarrow b=15$ e $c^2=a\cdot n=400\Rightarrow c=20$. Conferindo: $b\cdot c=300=a\cdot h$ ✓ e $15^2+20^2=625=25^2$ ✓.
Roteiro
Como estudar este tema
- Leia o resumo e marque, em cada desenho que fizer, onde está o ângulo reto e qual lado é a hipotenusa.
- No simulador, verifique o teorema com as áreas para três triângulos diferentes.
- Resolva os exercícios básicos de Pitágoras.
- Ligue a altura no simulador e faça os exercícios de relações métricas.
- Termine com os problemas aplicados de escada, cabo e sombra.
Exercícios
Teste o que você aprendeu
Resolva no papel antes de abrir a resposta. Conferir cedo demais atrapalha o aprendizado.
- Básico
Os catetos de um triângulo retângulo medem $6$ e $8$. Quanto mede a hipotenusa?
- Básico
A hipotenusa mede $13$ e um cateto mede $5$. Quanto mede o outro cateto?
- Básico
Um triângulo de lados $7$, $24$ e $25$ é retângulo?
- Básico
Quanto mede a diagonal de um quadrado de lado $5$ cm?
- Intermediário
Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado $6$.
- Intermediário
As projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem $4$ e $9$. Quanto mede a altura relativa à hipotenusa?
- Intermediário
Num triângulo retângulo de hipotenusa $10$, a projeção de um cateto mede $3{,}6$. Quanto medem os catetos?
- Intermediário
Os catetos medem $6$ e $8$. Quanto mede a altura relativa à hipotenusa?
- Aplicado
Um poste de $9$ m é sustentado por um cabo preso no seu topo e no chão, a $12$ m da base. Qual o comprimento do cabo?
- Aplicado
No mesmo instante, um poste projeta uma sombra de $6$ m e uma pessoa de $1{,}8$ m projeta uma sombra de $1{,}2$ m. Qual a altura do poste?
Referências
Para aprofundar
- DANTE, L. R. Teláris Matemática, 9º ano. São Paulo: Ática.
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar, v. 9: geometria plana. São Paulo: Atual.
Fica salvo só neste navegador.