MATEMÁTICA · ENEM

Razão e
proporção

Razões especiais · escala · grandezas proporcionais · regra de três · divisão proporcional · porcentagem
Prof. Luis Teixeira
Matemática para o ENEM

O que veremos

  1. Razão: definição e ordem dos termos
  2. Razões especiais: escala, velocidade média, densidade demográfica e concentração
  3. Escala de mapas e plantas
  4. Proporção e propriedade fundamental
  5. Misturas e receitas
  6. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
  7. Regra de três simples e composta
  8. Divisão em partes proporcionais
  9. Porcentagem como razão
  10. Questões no estilo ENEM
No ENEMRazão e proporção aparecem em quase toda prova: leitura de mapas, doses de medicamento, receitas, consumo de combustível, divisão de lucros, descontos e aumentos. O cálculo costuma ser simples; o cuidado está em montar a relação certa entre as grandezas.

Razão: comparar duas quantidades por divisão

Razão
razão de a para b = a : b = a/bb ≠ 0 · a é o antecedente, b é o consequente
A ordem importa"Meninas para meninos" e "meninos para meninas" são razões diferentes. E a razão entre as partes não é a fração do total: 12 : 8 não é o mesmo que 12 em 20.

Razões especiais

Razão

Escala de mapas e plantas

Razão
E = dmapa / drealas duas medidas na mesma unidade: a escala não tem unidade
Conversão de unidades1 km = 1.000 m = 100.000 cm. Na escala 1 : 100.000, cada centímetro do mapa vale 1 km.
Plantas de casasNa escala 1 : 50, 1 cm da planta corresponde a 50 cm reais. Uma parede de 8 cm na planta mede 4 m.

Proporção e propriedade fundamental

Proporção
a/b = c/d  ⇔  a · d = b · co produto dos meios é igual ao produto dos extremos
Proporção é igualdade de razõesOs dois retângulos do desenho têm lados a, b e c, d. Quando a/b = c/d, eles têm a mesma forma: um é a ampliação do outro.

Misturas: mesma razão, mesmo sabor

Proporção
Embalagem do sucoMisture 1 copo de suco concentrado para 3 copos de água (razão 1 : 3).
Parte e todoNa razão 1 : 3, o concentrado é 1 de 4 partes do suco pronto: 1/4 = 25% da mistura, e não 1/3.

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Proporção
Diretamente proporcionaisDobrando uma, a outra dobra. A razão y/x é constante e o gráfico é uma reta que passa pela origem.
Inversamente proporcionaisDobrando uma, a outra cai pela metade. O produto x · y é constante e o gráfico é um ramo de hipérbole.

Regra de três simples

Regra de três

Regra de três composta

Regra de três

Divisão em partes proporcionais

Proporção

Porcentagem é uma razão de denominador 100

Porcentagem
p% = p/10020% = 20/100 = 0,2 · 5% = 0,05 · 150% = 1,5
Aumentos e descontos sucessivosUm aumento de 20% seguido de um desconto de 20% não volta ao preço inicial: 1,2 · 0,8 = 0,96, ou seja, 4% a menos.

Questões no estilo ENEM

Exercícios

    Síntese

    Razãoa : b = a/b, com b ≠ 0; a ordem dos termos importa
    Razões especiaisescala = mapa/real · velocidade = distância/tempo · densidade = população/área · concentração = soluto/volume
    Proporçãoa/b = c/d ⇔ a · d = b · c
    Diretamente proporcionaisy/x constante; gráfico: reta pela origem
    Inversamente proporcionaisx · y constante; gráfico: hipérbole
    Regra de trêsmonte a tabela, compare cada grandeza com a da incógnita, inverta as inversas e resolva
    Divisão proporcionalconstante k = total / soma dos pesos; cada parte = peso · k (inversa: pesos 1/x)
    Porcentagemp% = p/100; aumento: × (1 + p/100); desconto: × (1 − p/100)
    Gire o celular para ver os slides maiores